微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} = 3 - y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 3 - y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $x \frac{d y}{d x} = 3 - y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{y}{x}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - y}{x}$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{3 - y}$ 。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{3 - y}{x}$

解题步骤 1.4

约去 $3 - y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{3 - y}{x}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = 3 - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = 3 - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.2.1.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

将分数分解成多个分数。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.6

使用 $3 - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \ln (| 3 - y |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $\ln (| x |)$ 。

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (| x |)$

解题步骤 3.3

将 $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (| x |)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (| x |)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

用 $\ln (| 3 - y |)$ 除以 $1$ 。

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

移动 $\frac{C}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $- 1 \cdot C$ 重写为 $- C$ 。

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.3

移动 $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ 中分母的负号。

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

解题步骤 3.3.3.1.4

将 $- 1 \cdot \ln (| x |)$ 重写为 $- \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (| x |)$

解题步骤 3.4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 3 - y |) + \ln (| x |) = - C$

解题步骤 3.5

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 3 - y | | x |) = - C$

解题步骤 3.6

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (3 - y) x |) = - C$

解题步骤 3.7

运用分配律。

$\ln (| 3 x - y x |) = - C$

解题步骤 3.8

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 3 x - y x |)} = e^{- C}$

解题步骤 3.9

使用对数的定义将 $\ln (| 3 x - y x |) = - C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- C} = | 3 x - y x |$

解题步骤 3.10

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.10.1

将方程重写为 $| 3 x - y x | = e^{- C}$ 。

$| 3 x - y x | = e^{- C}$

解题步骤 3.10.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$3 x - y x = \pm e^{- C}$

解题步骤 3.10.3

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$- y x = \pm e^{- C} - 3 x$

解题步骤 3.10.4

将 $- y x = \pm e^{- C} - 3 x$ 中的每一项除以 $- x$ 并化简。

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解题步骤 3.10.4.1

将 $- y x = \pm e^{- C} - 3 x$ 中的每一项都除以 $- x$ 。

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

解题步骤 3.10.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.10.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

解题步骤 3.10.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

解题步骤 3.10.4.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- 3 x}{- x}$

解题步骤 3.10.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.10.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.10.4.3.1.1

化简 $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ 。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 3 x}{- x}$

解题步骤 3.10.4.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.4.3.1.2.1

约去公因数。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 3 x}{- x}$

解题步骤 3.10.4.3.1.2.2

重写表达式。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 3.10.4.3.1.2.3

移动 $\frac{- 3}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} - 1 \cdot - 3$

解题步骤 3.10.4.3.1.3

将 $- 1 \cdot - 3$ 重写为 $- - 3$ 。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} - - 3$

解题步骤 3.10.4.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 3$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{C}{x} + 3$

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