微积分学示例

$2 y d x + 3 x d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 y d x$ 。

$3 x d y = - 2 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x y} y d x$

解题步骤 3.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y} y d x$

解题步骤 3.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{y x} y d x$

解题步骤 3.6.3

重写表达式。

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.2.3

化简。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.5

化简。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (| y |)$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

解题步骤 5.2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x |)$ 。

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

解题步骤 5.2.1.1.3

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ 中的因式重新排序。

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

解题步骤 5.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

解题步骤 5.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ 。

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

解题步骤 5.5.2

将 $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

用 ${| y |}^{3}$ 除以 $1$ 。

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

解题步骤 5.5.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1

将 $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 5.5.4.2

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.4.3.1

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.3.2

对 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

解题步骤 5.5.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.5.4.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

解题步骤 5.5.4.3.5

将 ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ 重写为 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.4.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $3$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.5

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.3.5.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.4.3.5.5.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.5.2.2

约去公因数。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.5.2.3

重写表达式。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

解题步骤 5.5.4.3.5.5.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.4

化简分子。

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解题步骤 5.5.4.4.1

将 ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.4.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.4.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.4.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.4.3

因式分解出 $x^{3}$ 。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.4.4

从根式下提出各项。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.4.5

使用根数乘积法则进行合并。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.5.4.5.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.5.1.1

从 $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

解题步骤 5.5.4.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.4.5.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

解题步骤 5.5.4.5.1.2.2

约去公因数。

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

解题步骤 5.5.4.5.1.2.3

重写表达式。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

解题步骤 5.5.4.5.2

将 $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

解题步骤 5.5.5

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$

微积分学 示例

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