微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{3}$ , $y (- 1) = 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = x^{3} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{3} d x$

解题步骤 2.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{4} x^{4} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $- 1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + K = 2$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} + K = 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{4}$ 。

$K = 2 - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$K = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$K = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{2 \cdot 4 - 1}{4}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$K = \frac{8 - 1}{4}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$K = \frac{7}{4}$

解题步骤 5

代入 $\frac{7}{4}$ 替换 $y = \frac{1}{4} x^{4} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{7}{4}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{7}{4}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{7}{4}$

微积分学 示例

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