微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x)}$

解题步骤 1.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $y$ 。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$x y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$x y = \ln (| x |) + C$

解题步骤 7

将 $x y = \ln (| x |) + C$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $x y = \ln (| x |) + C$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

微积分学 示例

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