微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (\frac{π}{2}) = 8$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\sin (t)$ 。

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

解题步骤 2.3.4

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $\frac{π}{2}$ 代入 $t$ ，将 $8$ 代入 $s$ ，在 $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ 中求 $K$ 的值。

$8 = \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 8$ 。

$\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 8$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 + \cos (\frac{π}{2}) + K = 8$

解题步骤 4.2.1.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$1 + 0 + K = 8$

解题步骤 4.2.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + K = 8$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = 8 - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$K = 7$

解题步骤 5

代入 $7$ 替换 $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $7$ 替换 $K$ 。

$s = \sin (t) + \cos (t) + 7$

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