微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

解题步骤 1.2

约去 $1 + 4 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

从 $1 + 4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3

从 $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{1}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.5

化简答案。

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解题步骤 2.2.5.1

化简。

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解题步骤 2.2.5.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.5.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.5.1.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.5.2

将 $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.5.3

化简。

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解题步骤 2.2.5.3.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.5.3.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.5.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.5.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.5.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ 中的每一项乘以 $2$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (2 y)$ 。

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.2.2

重写表达式。

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

解题步骤 3.2

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

解题步骤 3.3

将 $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$

微积分学 示例

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