微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{y e^{x^{2}}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{- x}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{1}{y})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x \cdot 1}{e^{x^{2}} y}$

解题步骤 1.3.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $e^{x^{2}} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x \cdot 1}{y e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{- x \cdot 1}{y e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{- x \cdot 1}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{- x}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.4

将负号移到分数的前面。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{e^{x^{2}}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y d y = - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{x^{2}}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{x^{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${(e^{x^{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x^{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- 1 \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2.2.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.3.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 2.3.3.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3.3.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3.3.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.3.3.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.3.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 2.3.3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.3.3.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简答案。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \frac{1}{2} u_{2}) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3

将 $\frac{u_{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{u_{2}}{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.3

使用 $e^{- x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.4

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- x^{2}}$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{e^{- x^{2}}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{e^{- x^{2}}}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

重写表达式。

$y^{2} = e^{- x^{2}} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{- x^{2}} + K}$

微积分学 示例

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