微积分学示例

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $- 2 y^{3} + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $- 6 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $3 x y^{2} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- 6 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 x^{2} + 3 y^{2}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- 6 y^{2}$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $3 x^{2} + 3 y^{2}$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $3 x y^{2} + x^{3}$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $3 x y^{2} + x^{3}$ 替换 $N$ 。

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $- 6 y^{2}$ 中减去 $3 y^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5.2

从 $- 9 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.2.5.3

从 $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

解题步骤 4.3.3

从 $3 x y^{2} + x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $3 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

解题步骤 4.3.4

约去 $- x^{2} - 3 y^{2}$ 和 $3 y^{2} + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

解题步骤 4.3.4.2

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

解题步骤 4.3.4.3

从 $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

解题步骤 4.3.4.4

将 $- (x^{2} + 3 y^{2})$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ 。

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

解题步骤 4.3.4.5

重新排序项。

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

解题步骤 4.3.4.6

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

解题步骤 4.3.4.7

重写表达式。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 4.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3}{x}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

解题步骤 5.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

解题步骤 6

在 $(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $- 2 y^{3} + 1$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $- 2 y^{3} + 1$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $- 2 y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.5

从 $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.6

将 $- (2 y^{3} - 1)$ 重写为 $- 1 (2 y^{3} - 1)$ 。

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

解题步骤 6.8

将 $3 x y^{2} + x^{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.9

将 $3 x y^{2} + x^{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.10

从 $3 x y^{2} + x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.10.1

从 $3 x y^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.10.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.10.3

从 $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.11

约去公因数。

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解题步骤 6.11.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.11.2

约去公因数。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.11.3

重写表达式。

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $\frac{1}{x^{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

解题步骤 8.3

由于 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

解题步骤 8.4

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

解题步骤 8.5

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

解题步骤 8.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

解题步骤 8.7

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ 。

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解题步骤 11.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 且 $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $y^{3} + x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.3

因为 $y^{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y^{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.4

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.6

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.9

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.10

将 $0$ 和 $2 y x$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.11

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.12

组合 $y$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.13

组合 $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.14

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.15

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.15.1

从 $2 y x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.15.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.15.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.15.2.2

约去公因数。

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.15.2.3

重写表达式。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.16

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.16.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.16.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.17

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.20

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.21

要将 $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.22

在公分母上合并分子。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.25

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2

运用分配律。

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3

合并项。

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解题步骤 11.5.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.3

组合 $y^{3}$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.4

将 $2$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.7

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.8

组合 $y$ 和 $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.9

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.10

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.11

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.11.1

约去公因数。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.11.2

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.13

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.14

将 $- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.15

将 $\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.16

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ 。

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.17

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.3.17.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.3.17.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.17.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.17.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.4

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 12.1.1.1

在等式两边都加上 $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.3

将 $- 2 y^{3}$ 和 $2 y^{3}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 13

求 $\frac{1}{x^{3}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 13.3

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 13.4

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 13.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 13.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

解题步骤 13.5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 13.6

化简答案。

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解题步骤 13.6.1

将 $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 13.6.2

化简。

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解题步骤 13.6.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

解题步骤 13.6.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

解题步骤 13.6.2.3

将 $2$ 乘以 $x^{2}$ 。

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $y^{3} + x^{2} y$ 。

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.1.2

从 $y^{3} + x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 15.1.2.1

从 $y^{3}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.1.2.2

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.1.2.3

从 $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.2

要将 $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 15.3.1

将 $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5

化简分子。

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解题步骤 15.5.1

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 15.5.2.1

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 15.5.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.3

运用分配律。

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.4

将 $2$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.5

将 $2$ 移到 $y x^{2}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.5.6

去掉圆括号。

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$

微积分学 示例

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