微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $2 y - 4$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 x - 4}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + 4 (x) - 4}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2.1.1.2

把 $4$ 重写为 $- 2$ 加 $6$

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} + (- 2 + 6) x - 4}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2.1.1.3

运用分配律。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{3 x^{2} - 2 x + 6 x - 4}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x^{2} - 2 x) + 6 x - 4}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 2$ 来因式分解多项式。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y - 4}$

解题步骤 1.2.2

从 $2 y - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y) - 4}$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 y + 2 \cdot - 2}$

解题步骤 1.2.2.3

从 $2 y + 2 \cdot - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (2 y - 4) \frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$

解题步骤 1.2.3

将 $2 y - 4$ 乘以 $\frac{(3 x - 2) (x + 2)}{2 (y - 2)}$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))}{2 (y - 2)}$

解题步骤 1.2.4

约去 $2 y - 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1

从 $(2 y - 4) ((3 x - 2) (x + 2))$ 中分解出因数 $2$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

解题步骤 1.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去公因数。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 2) ((3 x - 2) (x + 2)))}{2 (y - 2)}$

解题步骤 1.2.4.2.2

重写表达式。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

解题步骤 1.2.5

约去 $y - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) ((3 x - 2) (x + 2))}{y - 2}$

解题步骤 1.2.5.2

用 $(3 x - 2) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = (3 x - 2) (x + 2)$

解题步骤 1.2.6

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

运用分配律。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x (x + 2) - 2 (x + 2)$

解题步骤 1.2.6.2

运用分配律。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 (x + 2)$

解题步骤 1.2.6.3

运用分配律。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.1.1

移动 $x$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.7.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.7.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 6 x - 2 x - 4$

解题步骤 1.2.7.2

从 $6 x$ 中减去 $2 x$ 。

$(2 y - 4) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x - 4$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(2 y - 4) d y = (3 x^{2} + 4 x - 4) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int 2 y - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int y d y + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.4

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.2.5.2

化简。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x - 4 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

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解题步骤 2.3.7.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) - 4 x + C_{6}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

$y^{2} - 4 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + C_{7}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y^{2} - 4 y = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $x^{3}$ 。

$y^{2} - 4 y - x^{3} = 2 x^{2} - 4 x + K$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} = - 4 x + K$

解题步骤 3.1.3

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x = K$

解题步骤 3.1.4

从等式两边同时减去 $K$ 。

$y^{2} - 4 y - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K = 0$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $- 4 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))$ 。

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解题步骤 3.4.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3.4

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 2^{2} x - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$

解题步骤 3.4.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

解题步骤 3.5

最终答案为两个解的组合。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - K)}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + K)}$

微积分学 示例

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