微积分学示例

$x d y + (2 y - 10 x^{2}) d x = 0$

解题步骤 1

重写微分方程以符合精确微分方程方法。

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解题步骤 1.1

重写。

$(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 y - 10 x^{2}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 10 x^{2}]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 y - 10 x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 10 x^{2}]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 10 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 10 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

解题步骤 3

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x$ 的值。

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解题步骤 3.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 4

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $1$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 = 1$

解题步骤 4.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 = 1$ 不是恒等式。

解题步骤 5

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

代入 $2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 5.2

代入 $1$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 - 1}{N}$

解题步骤 5.3

代入 $x$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 5.3.1

代入 $x$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 - 1}{x}$

解题步骤 5.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 5.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6

计算积分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ 。

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解题步骤 6.1

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

化简。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

解题步骤 6.2.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = | x | + C$

解题步骤 7

在 $(2 y - 10 x^{2}) d x + x d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 y - 10 x^{2}$ 乘以 $x$ 。

$(2 y - 10 x^{2}) x d x + x d y = 0$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$(2 y x - 10 x^{2} x) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

移动 $x$ 。

$(2 y x - 10 (x \cdot x^{2})) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 y x - 10 (x^{1} x^{2})) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 y x - 10 x^{1 + 2}) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x d y = 0$

解题步骤 7.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x \cdot x d y = 0$

解题步骤 7.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 y x - 10 x^{3}) d x + x^{2} d y = 0$

解题步骤 8

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

解题步骤 9

对 $N (x, y) = x^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 9.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x^{2} y + C$

解题步骤 10

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

解题步骤 11

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 12.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12.2

根据加法法则， $x^{2} y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 12.3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12.3.3

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 12.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 10 x^{3}$

解题步骤 13

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 13.1.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$

解题步骤 13.1.2

合并 $2 y x - 10 x^{3} - 2 x y$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.2.1

按照 $2 y x$ 和 $- 2 x y$ 重新排列因数。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 10 x^{3} - 2 x y$

解题步骤 13.1.2.2

从 $2 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3} + 0$

解题步骤 13.1.2.3

将 $- 10 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$

解题步骤 14

求 $- 10 x^{3}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 14.1

对 $\frac{d g}{d x} = - 10 x^{3}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 10 x^{3} d x$

解题步骤 14.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int - 10 x^{3} d x$

解题步骤 14.3

由于 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 10$ 移到积分外。

$g (x) = - 10 \int x^{3} d x$

解题步骤 14.4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 14.5

化简答案。

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解题步骤 14.5.1

将 $- 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 重写为 $- 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ 。

$g (x) = - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 14.5.2

化简。

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解题步骤 14.5.2.1

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$g (x) = \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

解题步骤 14.5.2.2

约去 $- 10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.2.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (x) = \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

解题步骤 14.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 14.5.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

解题步骤 14.5.2.2.2.2

约去公因数。

$g (x) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

解题步骤 14.5.2.2.2.3

重写表达式。

$g (x) = \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

解题步骤 14.5.2.3

将负号移到分数的前面。

$g (x) = - \frac{5}{2} x^{4} + C$

解题步骤 15

在 $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5}{2} x^{4} + C$

解题步骤 16

化简每一项。

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解题步骤 16.1

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{4} \cdot 5}{2} + C$

解题步骤 16.2

将 $5$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{5 x^{4}}{2} + C$

微积分学 示例

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