微积分学示例

$\frac{d r}{d θ} = π \cos (π θ)$ , $r (1) = 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d r = π \cos (π θ) d θ$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d r = \int π \cos (π θ) d θ$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$r + C_{1} = \int π \cos (π θ) d θ$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $π$ 对于 $θ$ 是常数，所以将 $π$ 移到积分外。

$r + C_{1} = π \int \cos (π θ) d θ$

解题步骤 2.3.2

使 $u = π θ$ 。然后使 $d u = π d θ$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d θ$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = π θ$ 。求 $\frac{d u}{d θ}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $π θ$ 求导。

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $π$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $π θ$ 对 $θ$ 的导数是 $π \frac{d}{d θ} [θ]$ 。

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 等于 $n θ^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$r + C_{1} = π \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$r + C_{1} = π \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $π$ 。

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

约去公因数。

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

重写表达式。

$r + C_{1} = 1 \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.5.3

将 $\int \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$r + C_{1} = \int \cos (u) d u$

解题步骤 2.3.6

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$r + C_{1} = \sin (u) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $π θ$ 替换所有出现的 $u$ 。

$r + C_{1} = \sin (π θ) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$r = \sin (π θ) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $θ$ ，将 $2$ 代入 $r$ ，在 $r = \sin (π θ) + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \sin (π \cdot 1) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\sin (π \cdot 1) + K = 2$ 。

$\sin (π \cdot 1) + K = 2$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\sin (π \cdot 1) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\sin (π) + K = 2$

解题步骤 4.2.1.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (0) + K = 2$

解题步骤 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + K = 2$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 2$

解题步骤 5

代入 $2$ 替换 $r = \sin (π θ) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $2$ 替换 $K$ 。

$r = \sin (π θ) + 2$

微积分学 示例

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