微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 5} y = {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{1}{x - 5}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{x - 5} d x}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{1}{x - 5}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

使 $u = x - 5$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.2.1.1

设 $u = x - 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

对 $x - 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.2.1.1.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.2.1.1.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 1.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$e^{\ln (| u |) + C}$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\ln (| x - 5 |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (x - 5)}$

解题步骤 1.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$x - 5$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $x - 5$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $x - 5$ 。

$(x - 5) \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

组合 $\frac{1}{x - 5}$ 和 $y$ 。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 2.2.3

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $x - 5$ 乘以 ${(x - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 5$ 乘以 ${(x - 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1 + 2}$

解题步骤 2.3.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 2.4

使用二项式定理。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 2.5.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 2.5.3

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 2.5.4

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [(x - 5) y] = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [(x - 5) y] d x = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$(x - 5) y = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

将单个积分拆分为多个积分。

$(x - 5) y = \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

解题步骤 6.2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

解题步骤 6.3

由于 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 15$ 移到积分外。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 \int x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

解题步骤 6.4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

解题步骤 6.5

由于 $75$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $75$ 移到积分外。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 \int x d x + \int - 125 d x$

解题步骤 6.6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 125 d x$

解题步骤 6.7

应用常数不变法则。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

解题步骤 6.8

化简。

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解题步骤 6.8.1

化简。

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解题步骤 6.8.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

解题步骤 6.8.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 125 x + C$

解题步骤 6.8.2

化简。

$(x - 5) y = \frac{x^{4}}{4} - 5 x^{3} + \frac{75 x^{2}}{2} - 125 x + C$

解题步骤 6.8.3

重新排序项。

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$

解题步骤 7

将 $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ 中的每一项除以 $x - 5$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ 中的每一项都除以 $x - 5$ 。

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$y = \frac{\frac{x^{4}}{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.3

将 $\frac{x^{4}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x - 5}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.5

组合 $\frac{75}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75 x^{2}}{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.6

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.7

将 $\frac{75 x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x - 5}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.1.8

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.2

要将 $- \frac{5 x^{3}}{x - 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 (x - 5)$ 的形式。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{5 x^{3}}{x - 5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.3.2

重新排序 $(x - 5) \cdot 4$ 的因式。

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.5

化简分子。

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解题步骤 7.3.5.1

从 $x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.5.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.5.1.2

从 $- 5 x^{3} \cdot 4$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.5.1.3

从 $x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3} (x - 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.5.2

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.6

要将 $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 (x - 5)$ 的形式。

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解题步骤 7.3.7.1

将 $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{2 (x - 5) \cdot 2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.8

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9

化简分子。

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解题步骤 7.3.9.1

从 $x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.9.1.1

从 $x^{3} (x - 20)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9.1.2

从 $75 x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9.1.3

从 $x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20) + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9.2

运用分配律。

$y = \frac{x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9.4

将 $- 20$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 \cdot x + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.9.5

将 $75$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.10

要将 $- \frac{125 x}{x - 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 (x - 5)$ 的形式。

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解题步骤 7.3.11.1

将 $\frac{125 x}{x - 5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.11.2

重新排序 $(x - 5) \cdot 4$ 的因式。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.12

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13

化简分子。

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解题步骤 7.3.13.1

从 $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.3.13.1.1

从 $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.1.2

从 $- 125 x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.1.3

从 $x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150) - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.2

运用分配律。

$y = \frac{x (x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.3

化简。

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解题步骤 7.3.13.3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.13.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.13.3.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x (x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x (x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.3.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{x (x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.3.3

将 $150$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.13.4.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 (x \cdot x) + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.5

将 $- 125$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.13.6

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ 。

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解题步骤 7.3.13.6.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.3.13.6.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

解题步骤 7.3.13.6.3

代入 $10$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $10$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.3.13.6.3.1

将 $10$ 代入多项式。

$10^{3} - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.3

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$1000 - 20 \cdot 100 + 150 \cdot 10 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.4

将 $- 20$ 乘以 $100$ 。

$1000 - 2000 + 150 \cdot 10 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.5

从 $1000$ 中减去 $2000$ 。

$- 1000 + 150 \cdot 10 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.6

将 $150$ 乘以 $10$ 。

$- 1000 + 1500 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.7

将 $- 1000$ 和 $1500$ 相加。

$500 - 500$

解题步骤 7.3.13.6.3.8

从 $500$ 中减去 $500$ 。

$0$

解题步骤 7.3.13.6.4

因为 $10$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 10$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500}{x - 10}$

解题步骤 7.3.13.6.5

用 $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ 除以 $x - 10$ 。

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解题步骤 7.3.13.6.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$10$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$150 x$

$500$

解题步骤 7.3.13.6.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$

解题步骤 7.3.13.6.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

解题步骤 7.3.13.6.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 10 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

解题步骤 7.3.13.6.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

解题步骤 7.3.13.6.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

解题步骤 7.3.13.6.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

解题步骤 7.3.13.6.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$100 x$

解题步骤 7.3.13.6.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} + 100 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$

解题步骤 7.3.13.6.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$

解题步骤 7.3.13.6.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

解题步骤 7.3.13.6.5.12

将被除数中的最高阶项 $50 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

解题步骤 7.3.13.6.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							+	$50 x$	-	$500$

解题步骤 7.3.13.6.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $50 x - 500$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$

解题步骤 7.3.13.6.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$
										$0$

解题步骤 7.3.13.6.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 10 x + 50$

解题步骤 7.3.13.6.6

将 $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ 书写为因数的集合。

$y = \frac{x ((x - 10) (x^{2} - 10 x + 50))}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

解题步骤 7.3.14

要将 $\frac{C}{x - 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.3.15

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 (x - 5)$ 的形式。

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解题步骤 7.3.15.1

将 $\frac{C}{x - 5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$

解题步骤 7.3.15.2

重新排序 $(x - 5) \cdot 4$ 的因式。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.16

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17

化简分子。

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解题步骤 7.3.17.1

运用分配律。

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.3

将 $- 10$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = \frac{(x^{2} - 10 \cdot x) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 10 x) (x^{2} - 10 x + 50)$ 。

$y = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5

化简每一项。

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解题步骤 7.3.17.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.17.5.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{2 + 2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{x^{4} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.17.5.3.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{x^{4} - 10 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.17.5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4} - 10 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.4

将 $50$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 \cdot x^{2} - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.17.5.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.17.5.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x^{1}) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{2 + 1} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.6

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x \cdot x - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.3.17.5.7.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.8

将 $- 10$ 乘以 $- 10$ 。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.5.9

将 $50$ 乘以 $- 10$ 。

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.6

从 $- 10 x^{3}$ 中减去 $10 x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 50 x^{2} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.7

将 $50 x^{2}$ 和 $100 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

解题步骤 7.3.17.8

将 $4$ 移到 $C$ 的左侧。

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + 4 C}{4 (x - 5)}$

微积分学 示例

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