微积分学示例

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ 中的每一项除以 $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ 中的每一项都除以 $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.1

化简分母。

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解题步骤 1.1.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = 2 x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 1.1.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

对 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

解题步骤 1.1.3.3.3

对 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

解题步骤 1.1.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.1.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.6

将 ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 。

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解题步骤 1.1.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ 重写成 ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

解题步骤 1.1.3.3.6.5

化简。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 。然后使 $d u = - 8 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{8} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

解题步骤 2.3.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 1 + 2 x$ 且 $g (x) = 1 - 2 x$ 。

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

根据加法法则， $1 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1.1.3.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.6.2

将 $- 2$ 移到 $1 + 2 x$ 的左侧。

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.7

根据加法法则， $1 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.1.1.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.1.1.3.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.1.1.3.11

将 $2$ 移到 $1 - 2 x$ 的左侧。

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.1.3.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4

化简。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.3

合并项。

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解题步骤 2.3.1.1.4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

解题步骤 2.3.1.1.4.3.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

解题步骤 2.3.1.1.4.3.5

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$- 4 x + 0 - 4 x$

解题步骤 2.3.1.1.4.3.6

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x - 4 x$

解题步骤 2.3.1.1.4.3.7

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$- 8 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

解题步骤 2.3.2.2

将 $\frac{\sqrt{u}}{u}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

解题步骤 2.3.2.3

将 $8$ 移到 $u$ 的左侧。

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $u^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

将 $u$ 乘以 $u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

在公分母上合并分子。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.2.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 2.3.5.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.5.3.1

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.5.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ 重写为 $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

约去 $- 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.4

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

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