微积分学示例

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \cos (t) + \frac{\sin (t)}{t}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d s}{d t} + M (t) s = Q (t)$ 。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$\frac{d s}{d t} + \frac{s}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

解题步骤 1.2

从 $\frac{s}{t}$ 中分解出因数 $s$ 。

$\frac{d s}{d t} + s \frac{1}{t} = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

解题步骤 1.3

将 $s$ 和 $\frac{1}{t}$ 重新排序。

$\frac{d s}{d t} + \frac{1}{t} s = \frac{\sin (t)}{t} + \cos (t)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (t) d t}$ 定义，其中 $P (t) = \frac{1}{t}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{t}$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| t |)$ 。

$e^{\ln (| t |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{\ln (t)}$

解题步骤 2.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$t$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $t$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $t$ 。

$t \frac{d s}{d t} + t (\frac{1}{t} s) = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{t}$ 和 $s$ 。

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

解题步骤 3.2.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$t \frac{d s}{d t} + t \frac{s}{t} = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

解题步骤 3.3

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$t \frac{d s}{d t} + s = t \frac{\sin (t)}{t} + t \cos (t)$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$t \frac{d s}{d t} + s = \sin (t) + t \cos (t)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d t} [t s] = \sin (t) + t \cos (t)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d t} [t s] d t = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

解题步骤 6

对左边积分。

$t s = \int \sin (t) + t \cos (t) d t$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

将单个积分拆分为多个积分。

$t s = \int \sin (t) d t + \int t \cos (t) d t$

解题步骤 7.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$t s = - \cos (t) + C + \int t \cos (t) d t$

解题步骤 7.3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \cos (t)$ 。

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - \int \sin (t) d t$

解题步骤 7.4

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$t s = - \cos (t) + C + t \sin (t) - (- \cos (t) + C)$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

化简。

$t s = - \cos (t) + t \sin (t) + \cos (t) + C$

解题步骤 7.5.2

化简。

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解题步骤 7.5.2.1

将 $- \cos (t)$ 和 $\cos (t)$ 相加。

$t s = t \sin (t) + 0 + C$

解题步骤 7.5.2.2

将 $t \sin (t)$ 和 $0$ 相加。

$t s = t \sin (t) + C$

解题步骤 8

将 $t s = t \sin (t) + C$ 中的每一项除以 $t$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $t s = t \sin (t) + C$ 中的每一项都除以 $t$ 。

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{t s}{t} = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $s$ 除以 $1$ 。

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

约去公因数。

$s = \frac{t \sin (t)}{t} + \frac{C}{t}$

解题步骤 8.3.1.2

用 $\sin (t)$ 除以 $1$ 。

$s = \sin (t) + \frac{C}{t}$

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