微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{x y}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

拆分 $\frac{y^{2} - x^{2}}{x y}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{y^{2} - x^{2}}{x y}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x}{y}$

解题步骤 1.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x}{y}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V - V^{- 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V}$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并 $V - \frac{1}{V} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} + 0$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将 $- \frac{1}{V}$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $V$ 。

$V \frac{d V}{d x} = V (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V})$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$V \frac{d V}{d x} = - V (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V})$

解题步骤 6.1.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{V}$ 。

$V \frac{d V}{d x} = - V \frac{1}{x V}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.3.1

从 $- V$ 中分解出因数 $V$ 。

$V \frac{d V}{d x} = V \cdot - 1 \frac{1}{x V}$

解题步骤 6.1.4.3.2

从 $x V$ 中分解出因数 $V$ 。

$V \frac{d V}{d x} = V \cdot - 1 \frac{1}{V x}$

解题步骤 6.1.4.3.3

约去公因数。

$V \frac{d V}{d x} = V \cdot - 1 \frac{1}{V x}$

解题步骤 6.1.4.3.4

重写表达式。

$V \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$V d V = - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int V d V = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

根据幂法则， $V$ 对 $V$ 的积分是 $\frac{1}{2} V^{2}$ 。

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} V^{2} = - \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $V^{2}$ 。

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$V^{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 $2 (- \ln (| x |) + C)$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用分配律。

$V^{2} = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$V^{2} = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 6.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$V^{2} = - \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

解题步骤 6.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

解题步骤 6.3.5

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$V = \pm \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 6.3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 6.3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 6.3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + 2 C}$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$ 。

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解题步骤 8.1

重写。

$\frac{y}{x} = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

解题步骤 8.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

解题步骤 8.3

化简左边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

解题步骤 8.3.1.2

重写表达式。

$y = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

解题步骤 9

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$ 。

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解题步骤 9.1

重写。

$\frac{y}{x} = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C}$

解题步骤 9.2

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

解题步骤 9.3

化简左边。

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解题步骤 9.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

解题步骤 9.3.1.2

重写表达式。

$y = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

解题步骤 10

列出解。

$y = \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{- \ln (x^{2}) + C} x$

微积分学 示例

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