微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2 y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\cos (x) + \sin (x)}{y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x) + \sin (x)}{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \cos (x) + \sin (x) d x$

解题步骤 2.3.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int \cos (x) d x + \int \sin (x) d x)$

解题步骤 2.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} + \int \sin (x) d x)$

解题步骤 2.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{2} - \cos (x) + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (\frac{1}{2} (\sin (x) - \cos (x)) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \sin (x) + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (x)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x)) + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (x)$ 。

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1.1

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x)}{2} + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.1.2

重写表达式。

$y^{2} = \sin (x) + 2 (- \frac{\cos (x)}{2}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.2.1

将 $- \frac{\cos (x)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.2

约去公因数。

$y^{2} = \sin (x) + 2 \frac{- \cos (x)}{2} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2.3

重写表达式。

$y^{2} = \sin (x) - \cos (x) + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$

$y = - \sqrt{\sin (x) - \cos (x) + K}$

微积分学 示例

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