微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

拆分 $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{x^{2} + 2 y^{2}}{x y}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y^{2}}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

从 $2 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{y (2 y)}{y x}$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{2 y}{x}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{2 y}{x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{2 y}{x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot 2$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} + 2 \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} + 2 \cdot V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} + 2 \cdot V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} + 2 V$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 2 V - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

从 $2 V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.1.2

将 $\frac{1}{V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x}$

解题步骤 6.1.2

因数。

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解题步骤 6.1.2.1

要将 $\frac{V}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V}$

解题步骤 6.1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $V x$ 的形式。

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解题步骤 6.1.2.2.1

将 $\frac{V}{x}$ 乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{x V}$

解题步骤 6.1.2.2.2

重新排序 $x V$ 的因式。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{V \cdot V}{V x}$

解题步骤 6.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V \cdot V}{V x}$

解题步骤 6.1.2.4

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V x}$

解题步骤 6.1.3

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

两边同时乘以 $\frac{V}{1 + V^{2}}$ 。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.5

化简。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $\frac{1 + V^{2}}{V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

解题步骤 6.1.5.2

约去 $V$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.5.2.1

从 $V x$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V (x)}$

解题步骤 6.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{V x}$

解题步骤 6.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.5.3

约去 $1 + V^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.5.3.1

约去公因数。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.5.3.2

重写表达式。

$\frac{V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.6

重写该方程。

$\frac{V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

使 $u = 1 + V^{2}$ 。然后使 $d u = 2 V d V$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = V d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.2.1.1

设 $u = 1 + V^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

对 $1 + V^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + V^{2}$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ 。

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 V$

解题步骤 6.2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $2 V$ 相加。

$2 V$

解题步骤 6.2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

使用 $1 + V^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + V^{2} |))$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| 1 + V^{2} |)$ 。

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| 1 + V^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 6.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

运用分配律。

$\ln (| 1 + V^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

解题步骤 6.3.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

解题步骤 6.3.4

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.1

化简 $\ln (| 1 + V^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 6.3.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

解题步骤 6.3.4.1.1.2

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

解题步骤 6.3.4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

解题步骤 6.3.5

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

解题步骤 6.3.6

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}}$

解题步骤 6.3.7

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.7.1

将方程重写为 $\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ 。

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

解题步骤 6.3.7.2

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

解题步骤 6.3.7.3

化简。

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解题步骤 6.3.7.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.7.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.7.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 + V^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

解题步骤 6.3.7.3.1.1.2

重写表达式。

$| 1 + V^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

解题步骤 6.3.7.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.7.3.2.1

将 $e^{2 C} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$| 1 + V^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

解题步骤 6.3.7.4

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.7.4.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

解题步骤 6.3.7.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

解题步骤 6.3.7.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

解题步骤 6.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

解题步骤 8.2.1.2

重写表达式。

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} - 1}) x$

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