微积分学示例

$(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{2} + y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

解题步骤 1.5

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 4 x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x y]$

解题步骤 2.2

因为 $4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x y$ 对 $x$ 的导数是 $4 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $4 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 y = 4 y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 y = 4 y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $4 y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 y - (4 y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $4 x y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $4 x y$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 y - (4 y)}{4 x y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $2 y - 1 \cdot 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 2 - 1 \cdot 4 y}{4 x y}$

解题步骤 4.3.2.1.2

从 $- 1 \cdot 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)}{4 x y}$

解题步骤 4.3.2.1.3

从 $y \cdot 2 + y (- 1 \cdot 4)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (2 - 1 \cdot 4)}{4 x y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{y (2 - 4)}{4 x y}$

解题步骤 4.3.2.3

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

解题步骤 4.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{y \cdot - 2}{4 x y}$

解题步骤 4.3.3.2

重写表达式。

$\frac{- 2}{4 x}$

解题步骤 4.3.4

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{4 x}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{2 x}$

解题步骤 4.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.4

化简。

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1

乘以 $- \frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $\ln (| x |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| x |))} + C$

解题步骤 5.5.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} + C$

解题步骤 5.5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.5.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

解题步骤 5.5.4

将 ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

解题步骤 5.5.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

解题步骤 5.5.4.3

将负号移到分数的前面。

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 5.5.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6

在 $(x^{2} + y^{2}) d x + 4 x y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $x^{2} + y^{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $4 x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.4

乘以 $4 x y \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 6.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + x y \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.4.2

组合 $x$ 和 $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y \frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.4.3

组合 $y$ 和 $\frac{x \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \frac{y (x \cdot 4)}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

解题步骤 6.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x \cdot 4) x^{- \frac{1}{2}} d y = 0$

解题步骤 6.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.6.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x \cdot 4) d y = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot 4) d y = 0$

解题步骤 6.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 4) d y = 0$

解题步骤 6.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

解题步骤 6.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 4) d y = 0$

解题步骤 6.6.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + y (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4) d y = 0$

解题步骤 6.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x + 4 y x^{\frac{1}{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 4 y x^{\frac{1}{2}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = 4 y x^{\frac{1}{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $4 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = 4 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = x^{\frac{1}{2}} \frac{4}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{4}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.3

将 $4$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.4

将 $4$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x, y) = \frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.5

从 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.6

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.6.2

约去公因数。

$f (x, y) = \frac{2 (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.6.3

重写表达式。

$f (x, y) = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.6.4

用 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $2 y^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.5

在公分母上合并分子。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.6

化简分子。

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解题步骤 11.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.7

将负号移到分数的前面。

$2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$y^{2} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.10

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{y^{2} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.11

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot y^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.13

约去公因数。

$\frac{2 y^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.3.14

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

化简 $\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 12.1.1.1

化简项。

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解题步骤 12.1.1.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (x^{2} + y^{2})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.1.2

运用分配律。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - x^{2} - y^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.1.3

合并 $y^{2} - x^{2} - y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.1.1.3.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.1.3.2

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{d g}{d x} - x^{2} x^{- \frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.1.1.2.2.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d g}{d x} - (x^{- \frac{1}{2}} x^{2}) = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d g}{d x} - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 12.1.1.2.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

解题步骤 12.1.1.2.2.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{d g}{d x} - x^{\frac{3}{2}} = 0$

解题步骤 12.1.2

在等式两边都加上 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 13

求 $x^{\frac{3}{2}}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x^{\frac{3}{2}}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 13.3

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$g (x) = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ 。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 15.2

将 $f (x, y) = 2 x^{\frac{1}{2}} y^{2} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = 2 y^{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

微积分学 示例

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