微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int - 2 x d x}$

解题步骤 1.2

对 $- 2 x$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$e^{- 2 \int x d x}$

解题步骤 1.2.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2

化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$e^{- x^{2} + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{- x^{2}}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{- x^{2}}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x)$

解题步骤 2.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x)$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.4

将 $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 6.2

使 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u_{2} = e^{- x^{2}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $e^{- x^{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

解题步骤 6.2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.2.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.2.1.3

求微分。

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解题步骤 6.2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 6.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

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解题步骤 6.2.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ 的因式。

$- 2 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 6.2.1.4.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$- 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 6.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$e^{- x^{2}} y = 3 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$e^{- x^{2}} y = 3 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 6.4

应用常数不变法则。

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

解题步骤 6.5

化简答案。

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解题步骤 6.5.1

化简。

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

解题步骤 6.5.2

化简。

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解题步骤 6.5.2.1

组合 $u_{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{- x^{2}} y = 3 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

解题步骤 6.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{- x^{2}} y = - 3 \frac{u_{2}}{2} + C$

解题步骤 6.5.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{u_{2}}{2}$ 。

$e^{- x^{2}} y = \frac{- 3 u_{2}}{2} + C$

解题步骤 6.5.2.4

将负号移到分数的前面。

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3 u_{2}}{2} + C$

解题步骤 6.5.3

使用 $e^{- x^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3 e^{- x^{2}}}{2} + C$

解题步骤 6.5.4

重新排序项。

$e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$

解题步骤 7

将 $e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$ 中的每一项除以 $e^{- x^{2}}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{- x^{2}} y = - \frac{3}{2} e^{- x^{2}} + C$ 中的每一项都除以 $e^{- x^{2}}$ 。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{- x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

约去 $e^{- x^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{- \frac{3}{2} e^{- x^{2}}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

解题步骤 7.3.1.2

用 $- \frac{3}{2}$ 除以 $1$ 。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

微积分学 示例

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