微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) e^{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) e^{x})$

解题步骤 1.2

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(1 + y^{2}) e^{x}$ 中分解出因数 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (e^{x}))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) e^{x})$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = e^{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int e^{x} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int e^{x} d x$

解题步骤 2.3

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = e^{x} + K$

解题步骤 3

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (e^{x} + K)$

微积分学 示例