微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = x + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = x + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(\frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ 。

$y = (\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

运用分配律。

$y = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

运用分配律。

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

运用分配律。

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

乘以 $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.1

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

乘以 $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.1

将 $\frac{x}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.3.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{x}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.3

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $\frac{x K}{4}$ 和 $\frac{K x}{4}$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $K$ 重新排序。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $\frac{K x}{4}$ 和 $\frac{K x}{4}$ 相加。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

化简 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $\frac{x^{2}}{4}$ 。

$y = \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{K x}{2}$ 和 $\frac{K^{2}}{4}$ 重新排序。

$y = \frac{K^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = K + \frac{K x}{2} + \frac{x^{2}}{4}$

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