微积分学示例

$\frac{d L}{d t} = {kL}^{2} \ln (t)$

解题步骤 1

重写该方程。

$d L = {kL}^{2} \ln (t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d L = \int {kL}^{2} \ln (t) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$L + C_{1} = \int {kL}^{2} \ln (t) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 ${kL}^{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 ${kL}^{2}$ 移到积分外。

$L + C_{1} = {kL}^{2} \int \ln (t) d t$

解题步骤 2.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (t)$ ， $d v = 1$ 。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

解题步骤 2.3.3.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

约去公因数。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

解题步骤 2.3.3.2.2

重写表达式。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - \int d t)$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - (t + C_{2}))$

解题步骤 2.3.5

化简。

$L + C_{1} = {kL}^{2} (\ln (t) t - t) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$L = {kL}^{2} (\ln (t) t - t) + K$

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