微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

解题步骤 1.2

约去 $\cos^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $\cos (x) \cos^{2} (y)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (y)$ 。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ 转换成 $\sec^{2} (y)$ 。

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.2.2

因为 $\tan (y)$ 的导数为 $\sec^{2} (y)$ ，所以 $\sec^{2} (y)$ 的积分为 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

解题步骤 2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\tan (y) = \sin (x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sin (x) + K = \tan (y)$ 。

$\sin (x) + K = \tan (y)$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\sin (x) = \tan (y) - K$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

解题步骤 3.4

将方程重写为 $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ 。

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

解题步骤 3.5

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) - K = \sin (x)$

解题步骤 3.6

在等式两边都加上 $K$ 。

$\tan (y) = \sin (x) + K$

解题步骤 3.7

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

解题步骤 3.8

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

解题步骤 3.9

取方程两边的反正弦逆函数以提取反正弦内的 $\tan (y)$ 。

$\tan (y) - K = \sin (x)$

解题步骤 3.10

在等式两边都加上 $K$ 。

$\tan (y) = \sin (x) + K$

解题步骤 3.11

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

解题步骤 4

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $\frac{π}{4}$ 代入 $y$ ，在 $y = \arctan (\sin (x) + K)$ 中求 $K$ 的值。

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

解题步骤 5

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ 。

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $K$ 。

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

解题步骤 5.3

化简左边。

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解题步骤 5.3.1

化简 $\sin (0) + K$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

解题步骤 5.3.1.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

解题步骤 5.4

化简右边。

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解题步骤 5.4.1

计算 $\arcsin (\frac{π}{4})$ 。

$K = 0.90333911$

解题步骤 5.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

解题步骤 5.6

求解 $K$ 。

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解题步骤 5.6.1

去掉圆括号。

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

解题步骤 5.6.2

去掉圆括号。

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

解题步骤 5.6.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.90333911$ 。

$K = 2.23825354$

解题步骤 5.7

排除不能使 $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ 成立的解。

$无解$

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