微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

拆分 $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{2 x^{2} y + y^{3}}{2 x^{3}}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{2 x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{2} x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{3}}{2 x^{3}}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $\frac{y^{3}}{2 x^{3}}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3

从 $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x} \frac{y}{x}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{y}{2 x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

解题步骤 1.4

从 $\frac{y}{2 x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

从 $\frac{y}{2 x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

解题步骤 1.4.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V \cdot V \cdot V$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1.1

通过指数相加将 $V$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1.1

移动 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V) V$

解题步骤 6.1.1.1.1.2

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{2} V$

解题步骤 6.1.1.1.2

通过指数相加将 $V^{2}$ 乘以 $V$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

移动 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V \cdot V^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $V$ 乘以 $V^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.2.2.1

对 $V$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} (V^{1} V^{2})$

解题步骤 6.1.1.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{1 + 2}$

解题步骤 6.1.1.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{2} V^{3}$

解题步骤 6.1.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $V^{3}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{V^{3}}{2}$

解题步骤 6.1.1.2

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{V^{3}}{2} - V$

解题步骤 6.1.1.2.2

合并 $V + \frac{V^{3}}{2} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} + 0$

解题步骤 6.1.1.2.2.2

将 $\frac{V^{3}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

合并。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{2 x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

将 $V^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{2 x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{V^{3}}$ 。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{2 x}$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

合并。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

解题步骤 6.1.3.2

约去 $V^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 V^{3}}{V^{3} (2 x)}$

解题步骤 6.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{V^{3}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.2.1.1

通过将 $V^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 ${(V^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

根据幂法则， $V^{- 3}$ 对 $V$ 的积分是 $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

化简答案。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将 $- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{V^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2.2

将 $2$ 移到 $V^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

解题步骤 6.2.3

对右边积分。

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解题步骤 6.2.3.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

解题步骤 6.2.3.3

化简。

$- \frac{1}{2 V^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 6.3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 V^{2}, 1, 1$

解题步骤 6.3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$2 V^{2}$

解题步骤 6.3.3

将 $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 中的每一项乘以 $2 V^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $- \frac{1}{2 V^{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ 中的每一项乘以 $2 V^{2}$ 。

$- \frac{1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.1

约去 $2 V^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1.1

将 $- \frac{1}{2 V^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 V^{2}} (2 V^{2}) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (2 V^{2}) + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = 2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V^{2} + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ 。

$- 1 = \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3.1.3

将 ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.3.3.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) V^{2} + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$- 1 = \ln ({| x |}^{1}) V^{2} + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3.1.4

化简。

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + C (2 V^{2})$

解题步骤 6.3.3.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = \ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$

解题步骤 6.3.3.3.2

将 $\ln (| x |) V^{2} + 2 C V^{2}$ 中的因式重新排序。

$- 1 = V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$

解题步骤 6.3.4

求解方程。

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解题步骤 6.3.4.1

将方程重写为 $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$ 。

$V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2} = - 1$

解题步骤 6.3.4.2

从 $V^{2} \ln (| x |) + 2 C V^{2}$ 中分解出因数 $V^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.4.2.1

从 $2 C V^{2}$ 中分解出因数 $V^{2}$ 。

$V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C) = - 1$

解题步骤 6.3.4.2.2

从 $V^{2} \ln (| x |) + V^{2} (2 C)$ 中分解出因数 $V^{2}$ 。

$V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$

解题步骤 6.3.4.3

将 $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ 中的每一项除以 $\ln (| x |) + 2 C$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.3.1

将 $V^{2} (\ln (| x |) + 2 C) = - 1$ 中的每一项都除以 $\ln (| x |) + 2 C$ 。

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

解题步骤 6.3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.3.2.1

约去 $\ln (| x |) + 2 C$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{V^{2} (\ln (| x |) + 2 C)}{\ln (| x |) + 2 C} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

解题步骤 6.3.4.3.2.1.2

用 $V^{2}$ 除以 $1$ 。

$V^{2} = \frac{- 1}{\ln (| x |) + 2 C}$

解题步骤 6.3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.4.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$V^{2} = - \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}$

解题步骤 6.3.4.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{- \frac{1}{\ln (| x |) + 2 C}}$

解题步骤 6.3.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。