微积分学示例

${(x - 1)}^{2} (y d) x + x^{2} (y + 1) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 ${(x - 1)}^{2} y d x$ 。

$x^{2} (y + 1) d y = - {(x - 1)}^{2} y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x^{2} y}$ 。

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $y + 1$ 。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} (- {(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{1}{x^{2} y} ({(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{x^{2} y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} y} ({(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.4.2

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{2}} ({(x - 1)}^{2} y) d x$

解题步骤 3.4.3

从 ${(x - 1)}^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{2}} (y {(x - 1)}^{2}) d x$

解题步骤 3.4.4

约去公因数。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{2}} (y {(x - 1)}^{2}) d x$

解题步骤 3.4.5

重写表达式。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} {(x - 1)}^{2} d x$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{- 1}{x^{2}}$ 和 ${(x - 1)}^{2}$ 。

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{- {(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{y + 1}{y} d y = - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.4

应用常数不变法则。

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.5

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2.6

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(x - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3

使 $u_{1} = x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.3.1

设 $u_{1} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4.3.3.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3.3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.3.3.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {u_{1}}^{2} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

解题步骤 4.3.4

使 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.4.1

设 $u_{2} = u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.1

对 $u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

解题步骤 4.3.4.1.2

根据加法法则， $u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 4.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 4.3.4.1.4

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(u_{2} - 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.5

使 $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.5.1

设 $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 4.3.5.1.1

对 ${u_{2}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

解题步骤 4.3.5.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{2}$

解题步骤 4.3.5.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 4.3.6

化简。

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解题步骤 4.3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

解题步骤 4.3.6.2

组合 $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2}$ 和 ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

解题步骤 4.3.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ 移动到分母。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.6.4

将 ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

解题步骤 4.3.8

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{3}}$ 重写成 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.8.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ 重写成 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.8.3

通过将 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

解题步骤 4.3.8.4

将 ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.8.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

解题步骤 4.3.8.4.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.3.8.4.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.8.4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.8.4.3

将负号移到分数的前面。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9

化简。

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解题步骤 4.3.9.1

将 ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ 重写为 $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.2

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.3

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.4

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.5

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.6

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (- 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.7

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.8

将 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.10

在公分母上合并分子。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.9.12.1

约去公因数。

解题步骤 4.3.9.12.2

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.13

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.14

对 $u_{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.3.9.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.16

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.17

在公分母上合并分子。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.18

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.19

提取负因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.21

在公分母上合并分子。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.22

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.23

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.9.23.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.23.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.9.23.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.23.2.2

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.23.2.3

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.23.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.24

提取负因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.26

在公分母上合并分子。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.27

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.28

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.9.28.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.28.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.9.28.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.28.2.2

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.28.2.3

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.28.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.29

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.30

将 ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.31

从 $- {u_{3}}^{- 1}$ 中减去 ${u_{3}}^{- 1}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.9.32

将 ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ 和 $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ 重新排序。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.10

将负号移到分数的前面。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

解题步骤 4.3.11

将单个积分拆分为多个积分。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 4.3.12

由于 $- 2$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 4.3.13

${u_{3}}^{- 1}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 4.3.14

根据幂法则， ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

解题步骤 4.3.15

根据幂法则， ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ 对 $u_{3}$ 的积分是 $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C_{4}) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C_{5} - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C_{6})$

解题步骤 4.3.16

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 4.3.17.1

使用 ${u_{2}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.17.2

使用 $u_{1} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.17.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18

化简。

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解题步骤 4.3.18.1

合并 $- 2 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.18.1.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.1.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.1.4

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.1.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.1.6

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.18.2.1

从绝对值中去掉非负项。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.2

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.18.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.18.2.2.2.1

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.2.2.2

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.3

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.4

化简分母。

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解题步骤 4.3.18.2.4.1

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.18.2.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.4.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.18.2.4.1.2.1

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.4.1.2.2

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.2.4.2

化简。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.3

运用分配律。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4

化简。

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解题步骤 4.3.18.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.18.4.1.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.1.2

从 $- 2 \ln (x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.1.3

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{- 1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.1.4

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - - \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = 1 \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.3

将 $\ln (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - \frac{1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.18.4.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.4.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 (x)) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.4.3

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) + \frac{- 1}{2} (2 x) - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.4.4

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.18.4.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} (- \frac{2}{x}) + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.5.2

将 $- \frac{2}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.5.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.5.4

约去公因数。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.4.5.5

重写表达式。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - \frac{- 1}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.5

化简每一项。

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解题步骤 4.3.18.5.1

将负号移到分数的前面。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x - - \frac{1}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.5.2

乘以 $- - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.3.18.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + 1 \frac{1}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.18.5.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (x^{2}) - x + \frac{1}{x} + C_{7}$

解题步骤 4.3.19

重新排序项。

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C_{7}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y + \ln (| y |) = - x + \frac{1}{x} + \ln (x^{2}) + C$

微积分学 示例

微积分学示例