微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = 1 d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.2

分离分数。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ 转换成 $\sec^{2} (\sqrt{y})$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\sqrt{y}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int d x$

解题步骤 2.2.1.5

组合 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 和 $\sec^{2} (\sqrt{y})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2.3

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2.4

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int d x$

解题步骤 2.2.3

使 $u = y^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.3.1

设 $u = y^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

对 $y^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 2.2.3.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.2.3.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2.3.1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int d x$

解题步骤 2.2.5

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$2 \tan (u) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $y^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int d x$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = x + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = x + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = x + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

用 $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ 除以 $1$ 。

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (u) = \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{x}{2}$ 和 $\frac{K}{2}$ 重新排序。

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{2}$

解题步骤 3.4

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $u$ 。

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})$

解题步骤 3.5

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 代入 $u$ ，并求解 $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})}^{2}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})}^{2}$

解题步骤 3.5.2.1.2

化简。

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{2})}^{2}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = {\arctan (K + \frac{x}{2})}^{2}$

微积分学 示例

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