微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sin (x)$ , $y (0) = 5$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \sin (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \cos (x) + K$

$y = - \cos (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $5$ 代入 $y$ ，在 $y = - \cos (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$5 = - \cos (0) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $- \cos (0) + K = 5$ 。

$- \cos (0) + K = 5$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 + K = 5$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + K = 5$

$- 1 + K = 5$

$- 1 + K = 5$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$K = 5 + 1$

解题步骤 4.3.2

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$K = 6$

$K = 6$

$K = 6$

解题步骤 5

代入 $6$ 替换 $y = - \cos (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $6$ 替换 $K$ 。

$y = - \cos (x) + 6$

$y = - \cos (x) + 6$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$