微积分学示例

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $2 x^{2} y + 2 y + 5$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2} y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $5$ 对于 $y$ 是常数，所以 $5$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $2 x^{2} + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $2 x^{3} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 x^{2} + 2$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $6 x^{2} + 2$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 x^{2} + 2$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $6 x^{2} + 2$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $2 x^{3} + 2 x$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $2 x^{3} + 2 x$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $2 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.2.5

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.2.6

将 $- 4 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

解题步骤 4.3.3

从 $2 x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

解题步骤 4.3.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

解题步骤 4.3.3.3

从 $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $2 x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.1

约去公因数。

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

解题步骤 4.3.5.2.2

重写表达式。

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

解题步骤 5.4

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.4.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 5.4.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.4.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 5.4.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 5.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

解题步骤 5.6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.2

约去公因数。

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.3

重写表达式。

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.7.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

解题步骤 5.8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

解题步骤 5.9

化简。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

解题步骤 5.10

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

解题步骤 5.11

化简每一项。

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解题步骤 5.11.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

解题步骤 5.11.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

解题步骤 5.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

解题步骤 6

在 $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 x^{2} y + 2 y + 5$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $2 x^{2} y + 2 y + 5$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $2 x^{3} + 2 x$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $2 x^{3} + 2 x$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

解题步骤 6.5

从 $2 x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

解题步骤 6.5.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

解题步骤 6.5.3

从 $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

解题步骤 6.6

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 2 x d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = 2 x$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 2 x y + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $2 x y + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

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解题步骤 11.3.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 11.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.2

化简每一项。

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解题步骤 12.1.2.1

分解分数 $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ 成为两个分数。

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 12.1.2.2.1

从 $2 x^{2} y + 2 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 12.1.2.2.1.1

从 $2 x^{2} y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.2.2.1.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.2.2.1.3

从 $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.2.2.2

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.2.2.2.2

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

解题步骤 12.1.3

合并 $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.1

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 12.1.3.2

将 $0$ 和 $\frac{5}{x^{2} + 1}$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

解题步骤 13

求 $\frac{5}{x^{2} + 1}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 13.3

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 13.4

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 13.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 13.6

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

解题步骤 13.7

化简。

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$

微积分学 示例

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