微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

解题步骤 1

重写微分方程。

$y' - y = 1$

解题步骤 2

求 $y'$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

解题步骤 2.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 2.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $e^{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x} + 0$

解题步骤 2.3.3.2

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 2.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = e^{x}$

解题步骤 3

代入给定的微分方程。

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

解题步骤 4.2

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$0 + 1 = 1$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 = 1$

解题步骤 5

给定的解满足给定微分方程。

$y = e^{x} - 1$ 是 $y' - y = 1$ 的解

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