微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sec (y)$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sec (y)}$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (2 x \sec (y))$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sec (y)} x \sec (y)$

解题步骤 1.2.2

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} x \sec (y)$

解题步骤 1.2.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (1 \cos (y)) x \sec (y)$

解题步骤 1.2.4

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) x \sec (y)$

解题步骤 1.2.5

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.2.5.1

添加圆括号。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (y) (x \sec (y))$

解题步骤 1.2.5.2

添加圆括号。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (\cos (y) (x \sec (y)))$

解题步骤 1.2.5.3

将 $\cos (y)$ 和 $x \sec (y)$ 重新排序。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \sec (y) \cos (y))$

解题步骤 1.2.5.4

添加圆括号。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\sec (y) \cos (y)))$

解题步骤 1.2.5.5

将 $2 \cos (y) x \sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x (\frac{1}{\cos (y)} \cos (y)))$

解题步骤 1.2.5.6

约去公因数。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot 1)$

解题步骤 1.2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sec (y)} d y = 2 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\sec (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (y)}$ 。

$\int 1 \cos (y) d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.1.3

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (y) d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2.2

$\cos (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\sin (y)$ 。

$\sin (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\sin (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\sin (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\sin (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\sin (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sin (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\sin (y) = x^{2} + K$

解题步骤 3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $y$ 。

$y = \arcsin (x^{2} + K)$

微积分学 示例

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