微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y - x y + 3 y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $x^{2} y - x y + 3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} - x y + 3 y$

解题步骤 1.1.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + 3 y$

解题步骤 1.1.3

从 $3 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y x^{2} + y (- x) + y \cdot 3$

解题步骤 1.1.4

从 $y x^{2} + y (- x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x) + y \cdot 3$

解题步骤 1.1.5

从 $y (x^{2} - x) + y \cdot 3$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = y (x^{2} - x + 3)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

解题步骤 1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - x + 3))$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 3$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} - x + 3) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - x + 3 d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} - x + 3 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

解题步骤 2.3.5

应用常数不变法则。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$ 。

$| y | = e^{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C}$

解题步骤 3.3.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$| y | = e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$ 重写为 $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$

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