微积分学示例

$(1 + y e^{x y}) d x + (2 y + x e^{x y}) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + y e^{x y}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 + y e^{x y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{x y}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = e^{x y}$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

解题步骤 1.3.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1$

解题步骤 1.3.7

将 $e^{x y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{x y} x) + e^{x y}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $0$ 和 $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

解题步骤 1.4.2

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

解题步骤 1.4.3

将 $e^{x y} x y + e^{x y}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = 2 y + x e^{x y}$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{x y}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 y + x e^{x y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{x y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x y}$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1$

解题步骤 2.3.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1$

解题步骤 2.3.7

将 $e^{x y}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x (e^{x y} y) + e^{x y}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $0$ 和 $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

解题步骤 2.4.3

将 $e^{x y} x y + e^{x y}$ 中的因式重新排序。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x y e^{x y} + e^{x y}$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $x y e^{x y} + e^{x y}$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 1 + y e^{x y} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = 1 + y e^{x y}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int d x + \int y e^{x y} d x$

解题步骤 5.2

应用常数不变法则。

$f (x, y) = x + C + \int y e^{x y} d x$

解题步骤 5.3

由于 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $y$ 移到积分外。

$f (x, y) = x + C + y \int e^{x y} d x$

解题步骤 5.4

使 $u = x y$ 。然后使 $d u = y d x$ ，以便 $\frac{1}{y} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.4.1

设 $u = x y$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $x y$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 5.4.1.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y \cdot 1$

解题步骤 5.4.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y$

解题步骤 5.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f (x, y) = x + C + y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

解题步骤 5.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$f (x, y) = x + C + y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

解题步骤 5.6

由于 $\frac{1}{y}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{y}$ 移到积分外。

$f (x, y) = x + C + y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5.7

化简。

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解题步骤 5.7.1

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $y$ 。

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.7.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1

约去公因数。

$f (x, y) = x + C + \frac{y}{y} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.7.2.2

重写表达式。

$f (x, y) = x + C + 1 \int e^{u} d u$

解题步骤 5.7.3

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = x + C + \int e^{u} d u$

解题步骤 5.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$f (x, y) = x + C + e^{u} + C$

解题步骤 5.9

化简。

$f (x, y) = x + e^{u} + C$

解题步骤 5.10

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x, y) = x + e^{x y} + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [x + e^{x y} + g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.2

求微分。

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解题步骤 8.2.1

根据加法法则， $x + e^{x y} + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [e^{x y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [e^{x y}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = x y$ 。

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解题步骤 8.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{u} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.3.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + e^{x y} \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.3.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x y$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + e^{x y} (x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.3.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$0 + e^{x y} x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$0 + e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

将 $0$ 和 $e^{x y} x$ 相加。

$e^{x y} x + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.5.2

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + e^{x y} x = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 8.5.3

将 $\frac{d g}{d y} + e^{x y} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d y} + x e^{x y} = 2 y + x e^{x y}$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $x e^{x y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$

解题步骤 9.1.2

合并 $2 y + x e^{x y} - x e^{x y}$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $x e^{x y}$ 中减去 $x e^{x y}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

解题步骤 10

求 $2 y$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = 2 y$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 2 y d y$

解题步骤 10.3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$g (y) = 2 \int y d y$

解题步骤 10.4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 10.5

化简答案。

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解题步骤 10.5.1

将 $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ 。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

解题步骤 10.5.2

化简。

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解题步骤 10.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.2.2.1

约去公因数。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.2.2

重写表达式。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

解题步骤 10.5.2.3

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$g (y) = y^{2} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = x + e^{x y} + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = x + e^{x y} + y^{2} + C$

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