微积分学示例

$a^{2} d x = x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y$

解题步骤 1

重写该方程。

$x \sqrt{x^{2} a^{2}} d y = a^{2} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}}$ 。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x \sqrt{x^{2} a^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} (x \sqrt{x^{2} a^{2}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} a^{2}}} a^{2} d x$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $x^{2} a^{2}$ 重写为 ${(x a)}^{2}$ 。

$1 d y = \frac{1}{x \sqrt{{(x a)}^{2}}} a^{2} d x$

解题步骤 3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$1 d y = \frac{1}{x \cdot x a} a^{2} d x$

解题步骤 3.2.3

合并指数。

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解题步骤 3.2.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x a} a^{2} d x$

解题步骤 3.2.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 d y = \frac{1}{x^{1} x^{1} a} a^{2} d x$

解题步骤 3.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 d y = \frac{1}{x^{1 + 1} a} a^{2} d x$

解题步骤 3.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 d y = \frac{1}{x^{2} a} a^{2} d x$

解题步骤 3.3

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x^{2} a$ 中分解出因数 $a$ 。

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} a^{2} d x$

解题步骤 3.3.2

从 $a^{2}$ 中分解出因数 $a$ 。

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$1 d y = \frac{1}{a x^{2}} (a \cdot a) d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{x^{2}} a d x$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $a$ 。

$1 d y = \frac{a}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{a}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $a$ 移到积分外。

$y + C_{1} = a \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$y + C_{1} = a \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = a \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y + C_{1} = a \int x^{- 2} d x$

解题步骤 4.3.3

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$y + C_{1} = a (- x^{- 1} + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简答案。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $a (- x^{- 1} + C_{2})$ 重写为 $a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = a (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

解题步骤 4.3.4.2

组合 $a$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$y + C_{1} = - \frac{a}{x} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - \frac{a}{x} + K$

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