微积分学示例

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = y^{2} - x y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y^{2} - x y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $y$ 的导数是 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{2} - x y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} - x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $- x + 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $2 x - y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$- x + 2 y = 2 x - y$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$- x + 2 y = 2 x - y$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $- x + 2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $2 x - y$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $x^{2} - x y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $x^{2} - x y$ 替换 $N$ 。

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.3

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.4

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.5

将 $2 y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.6

从 $- 3 x + 3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.6.2

从 $3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.2.6.3

从 $3 (- x) + 3 (y)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

解题步骤 4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.1

从 $x^{2} - x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

解题步骤 4.3.3.1.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

解题步骤 4.3.3.1.3

从 $x \cdot x + x (- 1 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.4

约去 $- x + y$ 和 $x - y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.4.2

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.4.3

从 $- (x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.4.4

将 $- (x - y)$ 重写为 $- 1 (x - y)$ 。

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.4.5

约去公因数。

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

解题步骤 4.3.4.6

重写表达式。

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 4.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3}{x}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{x}$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 5.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 5.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 5.5

化简。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (| x |)$ 。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

解题步骤 5.6.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

解题步骤 5.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

解题步骤 6

在 $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y^{2} - x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

解题步骤 6.2

将 $y^{2} - x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

解题步骤 6.3

从 $y^{2} - x y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

解题步骤 6.3.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

解题步骤 6.3.3

从 $y \cdot y + y (- x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

解题步骤 6.4

将 $x^{2} - x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.5

将 $x^{2} - x y$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.6

化简分子。

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解题步骤 6.6.1

从 $x^{2} - x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.6.1.2

从 $- x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.6.1.3

从 $x \cdot x + x (- 1 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

解题步骤 6.7

约去公因数。

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解题步骤 6.7.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7.2

约去公因数。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

解题步骤 6.7.3

重写表达式。

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $\frac{1}{x^{2}}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{x^{2}}$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

解题步骤 8.2

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

解题步骤 8.3

应用常数不变法则。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

解题步骤 8.4

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

解题步骤 8.5

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

解题步骤 8.6

化简。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 11.2.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.2.2

根据加法法则， $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ 。

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解题步骤 11.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 且 $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.2

根据加法法则， $x y - \frac{y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.3

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.5

因为 $- \frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.6

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.7.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.9

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.10

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.11

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.12

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.12.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.12.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.16

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.17

要将 $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.18

在公分母上合并分子。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.19

通过指数相加将 $x^{- 3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.19.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.3.19.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.2

运用分配律。

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3

合并项。

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解题步骤 11.5.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.4

组合 $y$ 和 $\frac{x \cdot 2}{x}$ 。

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.6

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.7.1

约去公因数。

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.7.2

用 $2 y$ 除以 $1$ 。

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.9

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.12

将 $\frac{y^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.13

将 $\frac{y^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.14

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.15.1

约去公因数。

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.15.2

重写表达式。

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.16

从 $y$ 中减去 $2 y$ 。

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.17

将 $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.18

合并。

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.19

运用分配律。

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.20

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.5.3.20.1

约去公因数。

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.20.2

重写表达式。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.21

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.3.21.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.5.3.21.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.21.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.21.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.22

要将 $\frac{d g}{d x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 11.5.4

重新排序项。

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

解题步骤 12.1.2

化简 $y (y - x)$ 。

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解题步骤 12.1.2.1

重写。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

解题步骤 12.1.2.2

通过加上各个零进行化简。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

解题步骤 12.1.2.3

运用分配律。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

解题步骤 12.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 12.1.2.4.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

解题步骤 12.1.2.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

解题步骤 12.1.3

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.3.1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

解题步骤 12.1.3.2

在等式两边都加上 $x y$ 。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

解题步骤 12.1.3.3

合并 $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.3.3.1

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

解题步骤 12.1.3.3.2

将 $- y x$ 和 $0$ 相加。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

解题步骤 12.1.3.3.3

按照 $- y x$ 和 $x y$ 重新排列因数。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

解题步骤 12.1.3.3.4

将 $- x y$ 和 $x y$ 相加。

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 12.1.4

将 $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ 中的每一项除以 $x^{3}$ 并化简。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ 中的每一项都除以 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

解题步骤 12.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 12.1.4.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

解题步骤 12.1.4.2.1.2

用 $\frac{d g}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

解题步骤 12.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 12.1.4.3.1

用 $0$ 除以 $x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d x} = 0$

解题步骤 13

求 $0$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = 0$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int 0 d x$

解题步骤 13.3

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$g (x) = 0 + C$

解题步骤 13.4

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$g (x) = C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

组合 $y^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

解题步骤 15.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $x y - \frac{y^{2}}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3

化简分子。

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解题步骤 15.3.1

从 $x y - \frac{y^{2}}{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 15.3.1.1

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.1.2

从 $- \frac{y^{2}}{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.1.3

从 $y x + y (- \frac{y}{2})$ 中分解出因数 $y$ 。

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.2

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.4

在公分母上合并分子。

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.3.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.4

组合 $y$ 和 $\frac{2 x - y}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.5

将分子乘以分母的倒数。

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 15.6

合并。

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 15.7

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$

微积分学 示例

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