微积分学示例

$yd y + 3 x^{2} yd x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y d x$ 。

$y d y = - 3 x^{2} y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} y d y = \frac{1}{y} (- 3 x^{2} y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{y} y d y = \frac{1}{y} (- 3 x^{2} y) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$1 d y = \frac{1}{y} (- 3 x^{2} y) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$1 d y = - 3 \frac{1}{y} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$1 d y = \frac{- 3}{y} (x^{2} y) d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $x^{2} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$1 d y = \frac{- 3}{y} (y x^{2}) d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$1 d y = \frac{- 3}{y} (y x^{2}) d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$1 d y = - 3 x^{2} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - 3 x^{2} d x$

解题步骤 4.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - 3 x^{2} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 3 \int x^{2} d x$

解题步骤 4.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

解题步骤 4.3.3

化简答案。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ 重写为 $- 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.3.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - x^{3} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = - x^{3} + K$

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