微积分学示例

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ 中的每一项除以 ${(1 + x)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ 中的每一项都除以 ${(1 + x)}^{2}$ 。

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 ${(1 + x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

合并。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 ${(1 + y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 1 + y$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 1 + y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $1 + y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $1 + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.2.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

将 $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

使用 $1 + y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = 1 + x$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = 1 + x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.3.2.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

解题步骤 2.3.4

将 $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ 重写为 $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.5

使用 $1 + x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1 + y, 1 + x, 1$

解题步骤 3.1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.1.4

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 3.1.5

$1 + y$ 的因式是 $1 + y$ 本身。

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.1.6

$1 + x$ 的因式是 $1 + x$ 本身。

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.1.7

$1 + y, 1 + x$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(1 + y) (1 + x)$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ 中的每一项乘以 $(1 + y) (1 + x)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ 中的每一项乘以 $(1 + y) (1 + x)$ 。

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $1 + y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{1 + y}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

将 $- \frac{1}{1 + x}$ 中前置负号移到分子中。

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

从 $(1 + y) (1 + x)$ 中分解出因数 $1 + x$ 。

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.1.3

约去公因数。

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.1.4

重写表达式。

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.2

运用分配律。

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 + y) (1 + x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.4.1

运用分配律。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.4.2

运用分配律。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

解题步骤 3.2.3.1.4.3

运用分配律。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

解题步骤 3.2.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.5.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

解题步骤 3.2.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

解题步骤 3.2.3.1.5.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

解题步骤 3.2.3.1.6

运用分配律。

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

解题步骤 3.2.3.1.7

将 $K$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ 。

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

解题步骤 3.3.2.2

从等式两边同时减去 $K$ 。

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

解题步骤 3.3.2.3

从等式两边同时减去 $K x$ 。

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

解题步骤 3.3.2.4

合并 $- 1 - x + 1 - K - K x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

解题步骤 3.3.3

从 $- y + K y + K y x$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

解题步骤 3.3.3.2

从 $K y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

解题步骤 3.3.3.3

从 $K y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

解题步骤 3.3.3.4

从 $y \cdot - 1 + y K$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

解题步骤 3.3.3.5

从 $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

解题步骤 3.3.4

将 $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ 中的每一项除以 $- 1 + K + K x$ 并化简。

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解题步骤 3.3.4.1

将 $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ 中的每一项都除以 $- 1 + K + K x$ 。

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.4.2.1

约去 $- 1 + K + K x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2

化简项。

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解题步骤 3.3.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.4

从 $- (x) - K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.5

从 $- K x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.6

从 $- (x + K) - (K x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.7

将 $- (x + K + K x)$ 重写为 $- 1 (x + K + K x)$ 。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.8

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.9

从 $K$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.10

从 $- 1 (1) - 1 (- K)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

解题步骤 3.3.4.3.2.11

从 $K x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

解题步骤 3.3.4.3.2.12

从 $- 1 (1 - K) - (- K x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

解题步骤 3.3.4.3.2.13

约去公因数。

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

解题步骤 3.3.4.3.2.14

重写表达式。

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$

微积分学 示例

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