微积分学示例

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $x^{2} + y^{2} + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.3

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.5

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

解题步骤 1.6

合并项。

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解题步骤 1.6.1

将 $0$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

解题步骤 1.6.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = y$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $0$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$2 y = 0$

解题步骤 3.2

因为左边不等于右边，所以该方程不是恒等式。

$2 y = 0$ 不是恒等式。

解题步骤 4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $2 y$ 替换 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

解题步骤 4.2

代入 $0$ 替换 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\frac{2 y + 0}{N}$

解题步骤 4.3

代入 $y$ 替换 $N$ 。

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解题步骤 4.3.1

代入 $y$ 替换 $N$ 。

$\frac{2 y + 0}{y}$

解题步骤 4.3.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 y}{y}$

解题步骤 4.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{y}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.4

求质因数分解 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 。

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

解题步骤 5

计算积分 $e^{\int 2 d x}$ 。

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解题步骤 5.1

应用常数不变法则。

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

解题步骤 5.2

化简。

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

解题步骤 6

在 $(x^{2} + y^{2} + x) d x + y d y = 0$ 的两边同时乘以积分因数 $e^{2 x}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2} + y^{2} + x$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

$(x^{2} + y^{2} + x) e^{2 x} d x + y d y = 0$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y d y = 0$

解题步骤 6.3

将 $y$ 乘以 $e^{2 x}$ 。

$(x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + y e^{2 x} d y = 0$

解题步骤 7

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int y e^{2 x} d y$

解题步骤 8

对 $N (x, y) = y e^{2 x}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 8.1

由于 $e^{2 x}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $e^{2 x}$ 移到积分外。

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

解题步骤 8.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

将 $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 重写为 $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ 。

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

组合 $e^{2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.3.3

重新排序项。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

解题步骤 9

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

解题步骤 10

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.2

根据加法法则， $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ 。

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解题步骤 11.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.2

组合 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.3

因为 $\frac{y^{2}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 11.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{y^{2}}{2}$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.10

组合 $\frac{2 y^{2}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.11.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.3.11.2

用 $y^{2} e^{2 x}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.5

化简。

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解题步骤 11.5.1

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 11.5.2

将 $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 12

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 12.1.1

从等式两边同时减去 $y^{2} e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

解题步骤 12.1.2

合并 $x^{2} e^{2 x} + y^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 12.1.2.1

从 $y^{2} e^{2 x}$ 中减去 $y^{2} e^{2 x}$ 。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} + 0$

解题步骤 12.1.2.2

将 $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$

解题步骤 13

求 $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x}$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.3

将单个积分拆分为多个积分。

$g (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$g (x) = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.5

化简。

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解题步骤 13.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$g (x) = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.5.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.6

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.7

化简。

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解题步骤 13.7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.7.2.1

约去公因数。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.7.2.2

重写表达式。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.7.3

将 $\int e^{2 x} (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.9

化简。

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解题步骤 13.9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.9.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.11

去掉圆括号。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.12

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 13.12.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 13.12.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 13.12.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 13.12.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 13.12.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.13

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.15

化简。

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解题步骤 13.15.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.15.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.16

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int x e^{2 x} d x$

解题步骤 13.17

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 13.18

化简。

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解题步骤 13.18.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 13.18.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 13.19

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

解题步骤 13.20

去掉圆括号。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

解题步骤 13.21

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.21.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 13.21.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 13.21.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.21.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 13.21.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 13.21.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 13.22

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 13.23

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 13.24

化简。

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解题步骤 13.24.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.24.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.25

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 13.26

化简。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 13.27

化简。

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解题步骤 13.27.1

将 $- \frac{x e^{2 x}}{2}$ 和 $\frac{x e^{2 x}}{2}$ 相加。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 13.27.2

将 $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 13.27.3

要将 $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot \frac{4}{4} + C$

解题步骤 13.27.4

组合 $- \frac{1}{4} e^{u_{2}}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.27.5

在公分母上合并分子。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{1}{4} e^{u_{2}} \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.27.6

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - \frac{e^{u_{2}}}{4} \cdot 4}{4} + C$

解题步骤 13.27.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - 4 \frac{e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

解题步骤 13.27.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{e^{u_{2}}}{4}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- 4 e^{u_{2}}}{4}}{4} + C$

解题步骤 13.27.9

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.27.9.1

从 $- 4 e^{u_{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4}}{4} + C$

解题步骤 13.27.9.2

约去公因数。

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解题步骤 13.27.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 (1)}}{4} + C$

解题步骤 13.27.9.2.2

约去公因数。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{4 (- e^{u_{2}})}{4 \cdot 1}}{4} + C$

解题步骤 13.27.9.2.3

重写表达式。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} + \frac{- e^{u_{2}}}{1}}{4} + C$

解题步骤 13.27.9.2.4

用 $- e^{u_{2}}$ 除以 $1$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}} - e^{u_{2}}}{4} + C$

解题步骤 13.27.10

从 $e^{u_{1}}$ 中减去 $e^{u_{2}}$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{4} + C$

解题步骤 13.27.11

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.27.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 (0)}{4} + C$

解题步骤 13.27.11.2

约去公因数。

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解题步骤 13.27.11.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

解题步骤 13.27.11.2.2

约去公因数。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + C$

解题步骤 13.27.11.2.3

重写表达式。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{0}{1} + C$

解题步骤 13.27.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 0 + C$

解题步骤 13.27.12

将 $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$g (x) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 13.28

重新排序项。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 14

在 $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 15

化简 $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$ 。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 15.1.4

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.2

将 $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$ 中的因式重新排序。

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + C$

微积分学 示例

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