微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

拆分 $\frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

约去 $y^{2}$ 和 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.2.2.1

从 $2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

解题步骤 1.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{3 y}{2 x}$ 中因式分解出 $\frac{y}{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从 $\frac{3 y}{2 x}$ 中分解出因数 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{3}{2} + \frac{x}{2 y}$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{y}{x}$ 和 $\frac{3}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

解题步骤 1.3

将微分方程重写为 $f (\frac{y}{x})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中因式分解出 $\frac{x}{y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

从 $\frac{x}{2 y}$ 中分解出因数 $\frac{x}{y}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{y}$ 重写为 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

解题步骤 6.1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

解题步骤 6.1.1.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{V}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V}$

解题步骤 6.1.1.2

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

解题步骤 6.1.1.3

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

要将 $- V$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.3.3.1

组合 $- V$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1

从 $3 V - V \cdot 2$ 中分解出因数 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

从 $3 V$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 - V \cdot 2}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

从 $- V \cdot 2$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

从 $V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 2)}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.1.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3.3.2

将 $V$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.3.3.4.1

要将 $\frac{V}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.2

将 $\frac{V}{2}$ 乘以 $\frac{V}{V}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V \cdot V}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.4.4

将 $V$ 乘以 $V$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V^{2}}{2 V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.1.3.3.6

将 $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

解题步骤 6.1.2

重新组合因数。

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.3

两边同时乘以 $\frac{2 V}{1 + V^{2}}$ 。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

解题步骤 6.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.1

将 $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

解题步骤 6.1.4.2

约去 $2 V$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.2.1

从 $2 V x$ 中分解出因数 $2 V$ 。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V (x)}$

解题步骤 6.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

解题步骤 6.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.4.3

约去 $1 + V^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

解题步骤 6.1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.5

重写该方程。

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

由于 $2$ 对于 $V$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

使 $u = 1 + V^{2}$ 。然后使 $d u = 2 V d V$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = V d V$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.2.1

设 $u = 1 + V^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d V}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.2.1.1

对 $1 + V^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

根据加法法则， $1 + V^{2}$ 对 $V$ 的导数是 $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ 。

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.2.1.3

因为 $1$ 对于 $V$ 是常数，所以 $1$ 对 $V$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

解题步骤 6.2.2.2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ 等于 $n V^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 V$

解题步骤 6.2.2.2.1.5

将 $0$ 和 $2 V$ 相加。

$2 V$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.3.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.3.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.5.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.5.3

将 $\int \frac{1}{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.7

使用 $1 + V^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 6.3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$

解题步骤 6.3.3

要求解 $V$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

解题步骤 6.3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}$

解题步骤 6.3.5

求解 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.5.1

将方程重写为 $\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$ 。

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$

解题步骤 6.3.5.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.5.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.3.1.2

重写表达式。

$| 1 + V^{2} | = e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.4

求解 $V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.5.4.1

将 $e^{C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| 1 + V^{2} | = | x | e^{C}$

解题步骤 6.3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + V^{2} = \pm | x | e^{C}$

解题步骤 6.3.5.4.3

将 $\pm | x | e^{C}$ 中的因式重新排序。

$1 + V^{2} = \pm e^{C} | x |$

解题步骤 6.3.5.4.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$V^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

解题步骤 6.3.5.4.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$V = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

解题步骤 6.4

将常数项组合在一起。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

化简积分常数。

$V = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

解题步骤 6.4.2

用加号或减号合并常数。

$V = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

解题步骤 8.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

解题步骤 8.2.1.2

重写表达式。

$y = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

微积分学 示例

微积分学示例