微积分学示例

$\frac{d p}{d z} + \frac{2}{z} p = 4$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (z) d z}$ 定义，其中 $P (z) = \frac{2}{z}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{z} d z}$

解题步骤 1.2

对 $\frac{2}{z}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于 $2$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{z} d z}$

解题步骤 1.2.2

$\frac{1}{z}$ 对 $z$ 的积分为 $\ln (| z |)$ 。

$e^{2 (\ln (| z |) + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| z |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (z)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (z^{2})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$z^{2}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $z^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $z^{2}$ 。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z^{2} (\frac{2}{z} p) = z^{2} \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{2}{z}$ 和 $p$ 。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z^{2} \frac{2 p}{z} = z^{2} \cdot 4$

解题步骤 2.2.2

约去 $z$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $z^{2}$ 中分解出因数 $z$ 。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z \cdot z \frac{2 p}{z} = z^{2} \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z \cdot z \frac{2 p}{z} = z^{2} \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + z (2 p) = z^{2} \cdot 4$

解题步骤 2.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + 2 z p = z^{2} \cdot 4$

解题步骤 2.3

将 $4$ 移到 $z^{2}$ 的左侧。

$z^{2} \frac{d p}{d z} + 2 z p = 4 z^{2}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d z} [z^{2} p] = 4 z^{2}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d z} [z^{2} p] d z = \int 4 z^{2} d z$

解题步骤 5

对左边积分。

$z^{2} p = \int 4 z^{2} d z$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

由于 $4$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$z^{2} p = 4 \int z^{2} d z$

解题步骤 6.2

根据幂法则， $z^{2}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{1}{3} z^{3}$ 。

$z^{2} p = 4 (\frac{1}{3} z^{3} + C)$

解题步骤 6.3

化简答案。

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解题步骤 6.3.1

将 $4 (\frac{1}{3} z^{3} + C)$ 重写为 $4 (\frac{1}{3}) z^{3} + C$ 。

$z^{2} p = 4 (\frac{1}{3}) z^{3} + C$

解题步骤 6.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$z^{2} p = \frac{4}{3} z^{3} + C$

解题步骤 7

将 $z^{2} p = \frac{4}{3} z^{3} + C$ 中的每一项除以 $z^{2}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $z^{2} p = \frac{4}{3} z^{3} + C$ 中的每一项都除以 $z^{2}$ 。

$\frac{z^{2} p}{z^{2}} = \frac{\frac{4}{3} z^{3}}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $z^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{z^{2} p}{z^{2}} = \frac{\frac{4}{3} z^{3}}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $p$ 除以 $1$ 。

$p = \frac{\frac{4}{3} z^{3}}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $z^{3}$ 和 $z^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $\frac{4}{3} z^{3}$ 中分解出因数 $z^{2}$ 。

$p = \frac{z^{2} (\frac{4}{3} z)}{z^{2}} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$p = \frac{z^{2} (\frac{4}{3} z)}{z^{2} \cdot 1} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

约去公因数。

$p = \frac{z^{2} (\frac{4}{3} z)}{z^{2} \cdot 1} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.3

重写表达式。

$p = \frac{\frac{4}{3} z}{1} + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.4

用 $\frac{4}{3} z$ 除以 $1$ 。

$p = \frac{4}{3} z + \frac{C}{z^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $z$ 。

$p = \frac{4 z}{3} + \frac{C}{z^{2}}$

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