微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2} + x}$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \frac{3}{x^{2} + x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2} + x} d x$

解题步骤 2.3.2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.3.2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x \cdot x + x}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

解题步骤 2.3.2.1.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.1.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x (x + 1)}$

解题步骤 2.3.2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x + 1)$ 。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.5

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.6.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.6.1.2

用 $A (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.6.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.6.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.6.4

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.6.4.1

约去公因数。

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.1.6.4.2

用 $(B) (x)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

解题步骤 2.3.2.1.7

移动 $A$ 。

$1 = A x + B x + A$

解题步骤 2.3.2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.3.2.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.3.2.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A$

解题步骤 2.3.2.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

解题步骤 2.3.2.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将方程重写为 $A = 1$ 。

$A = 1$

$0 = A + B$

解题步骤 2.3.2.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.2.1

使用 $1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

解题步骤 2.3.2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

解题步骤 2.3.2.3.3

在 $0 = 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.3.1

将方程重写为 $1 + B = 0$ 。

$1 + B = 0$

$A = 1$

解题步骤 2.3.2.3.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

解题步骤 2.3.2.3.4

求解方程组。

$B = - 1 A = 1$

解题步骤 2.3.2.3.5

列出所有解。

$B = - 1, A = 1$

解题步骤 2.3.2.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

解题步骤 2.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = 3 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 2.3.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 2.3.6

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.6.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.6.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.3.6.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 2.3.7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

解题步骤 2.3.8

化简。

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.9

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$y = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

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