微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{1 + y^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))$

解题步骤 1.2

约去 $1 + y^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从 $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ 中分解出因数 $1 + y^{2}$ 。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x^{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 对 $y$ 的积分为 $\arctan (y) + C_{1}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x^{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{2} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5

重新排序项。

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $y$ 。

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

解题步骤 3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

微积分学 示例

微积分学示例