微积分学示例

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将 $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

解题步骤 1.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

解题步骤 1.3.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

解题步骤 1.4

从 $\frac{2 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

解题步骤 1.5

将 $y$ 和 $\frac{2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $\frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{2 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{2}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $x^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

解题步骤 7.3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

解题步骤 7.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

解题步骤 7.5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

解题步骤 7.6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

解题步骤 7.7

化简答案。

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解题步骤 7.7.1

将 $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ 重写为 $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ 。

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

解题步骤 7.7.2

化简。

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解题步骤 7.7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

解题步骤 7.7.2.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

解题步骤 8

将 $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ 中的每一项除以 $x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ 中的每一项都除以 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简项。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

用 $- \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.3

要将 $- \cos (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.4

组合 $- \cos (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.6

从 $- \cos (x) x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.7

从 $2 x \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.8

从 $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.9

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.10

从 $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.11

从 $C$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.12

从 $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.13

化简表达式。

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解题步骤 8.3.13.1

将 $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ 重写为 $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ 。

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.13.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

解题步骤 8.3.13.3

将 $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

微积分学 示例

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