微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{3 y - 4 x}{x}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{3 y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 1.2

从 $- \frac{3 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- \frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{3}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.5

化简。

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 3})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 3}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{3 y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

解题步骤 3.3

合并。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

解题步骤 3.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

解题步骤 3.5

将 $- 4 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

解题步骤 3.6

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

解题步骤 7.3

化简表达式。

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解题步骤 7.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.3.2

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.3.3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.3.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 7.4

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 7.5

化简答案。

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解题步骤 7.5.1

化简。

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解题步骤 7.5.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 7.5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 7.5.2

化简。

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 7.5.3

化简。

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解题步骤 7.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.5.3.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.5.3.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.3.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.5.3.3.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

解题步骤 7.5.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 7.5.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 8.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

解题步骤 8.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

解题步骤 8.1.3

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

解题步骤 8.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $\frac{2}{x^{2}}$ 。

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 8.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 $x^{3}$ 。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

运用分配律。

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.2.3

重写表达式。

$y = 2 x + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.3

将 $2 x$ 和 $C x^{3}$ 重新排序。

$y = C x^{3} + 2 x$

微积分学 示例

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