微积分学示例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

解题步骤 1

假设所有解都为 $y = e^{r x}$ 形式。

解题步骤 2

求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ 的特征方程。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

解题步骤 2.3

代入微分方程。

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

解题步骤 2.5

因式分解出 $e^{r x}$ 。

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解题步骤 2.5.1

从 $r^{2} e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

解题步骤 2.5.2

从 $- 2 r e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

解题步骤 2.5.3

从 $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

解题步骤 2.5.4

从 $- 3 e^{r x}$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

解题步骤 2.5.5

从 $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ 中分解出因数 $e^{r x}$ 。

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

解题步骤 2.6

由于指数永远不可能为零，在两边同时除以 $e^{r x}$ 。

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 3$ 中减去 $5$ 。

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $r^{2} - 2 r - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(r - 4) (r + 2) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

解题步骤 3.5

将 $r - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $r - 4$ 设为等于 $0$ 。

$r - 4 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$r = 4$

解题步骤 3.6

将 $r + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $r + 2$ 设为等于 $0$ 。

$r + 2 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$r = - 2$

解题步骤 3.7

最终解为使 $(r - 4) (r + 2) = 0$ 成立的所有值。

$r = 4, - 2$

解题步骤 4

使用求到的两个 $r$ 值，可以构建两个解。

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

解题步骤 5

根据叠加原理，二阶齐次线性微分方程的通解是其两个解的线性组合。

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$

微积分学 示例

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