微积分学示例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

将 $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ 中的每一项除以 $1 + x^{2}$ 并化简。

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解题步骤 1.1.1

将 $(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ 中的每一项都除以 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.1

约去 $1 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1.2

重写该方程。

$d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C_{2}$ 。

$y + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \arctan (x) + K$

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