微积分学示例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

运用分配律。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{d y}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $4 x y$ 。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

从 $x^{2} \frac{d y}{d x}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

解题步骤 1.1.3.2

对 $\frac{d y}{d x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

解题步骤 1.1.3.3

从 ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

解题步骤 1.1.3.4

从 $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ 中分解出因数 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ 中的每一项除以 $x^{2} + 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ 中的每一项都除以 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2

从 $x - 4 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2.3

从 $- 4 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.4.3.2.4

从 $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{1 - 4 y}$ 。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

解题步骤 1.4

约去 $1 - 4 y$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ 中分解出因数 $1 - 4 y$ 。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

解题步骤 1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = 1 - 4 y$ 。然后使 $d u_{1} = - 4 d y$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = 1 - 4 y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $1 - 4 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

解题步骤 2.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

根据加法法则， $1 - 4 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

解题步骤 2.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 4 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$0 - 4$

解题步骤 2.2.1.1.4

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.2.3

将 $4$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.3

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.6

化简。

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.2.7

使用 $1 - 4 y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 2.3.5

化简。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.6

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $- 4$ 。

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\ln (| 1 - 4 y |)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

将 $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.3

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.2.4

重写表达式。

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.3

乘。

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解题步骤 3.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.1.1.3.2

将 $\ln (| 1 - 4 y |)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

解题步骤 3.2.2.1.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 3.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.3.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3.2

约去公因数。

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.3.3.3

重写表达式。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

解题步骤 3.2.2.1.5

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1.5.1

运用分配律。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

解题步骤 3.2.2.1.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

解题步骤 3.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

解题步骤 3.4

化简左边。

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解题步骤 3.4.1

化简 $\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ 。

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

解题步骤 3.4.1.1.2

去掉 ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

解题步骤 3.4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

解题步骤 3.5

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

解题步骤 3.6

使用对数的定义将 $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 3.7

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.7.1

将方程重写为 $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ 。

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

解题步骤 3.7.2

将 $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ 中的每一项除以 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 3.7.2.1

将 $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ 中的每一项都除以 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.2.1

约去 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2.2.1.2

用 $| 1 - 4 y |$ 除以 $1$ 。

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

解题步骤 3.7.5

将 $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.7.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.5.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.7.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.7.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.5.3.1.1

化简 $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ 。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 3.7.5.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3.7.5.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

微积分学 示例

微积分学示例