微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 3 + y \tan (x)$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $y \tan (x)$ 。

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = 3$

解题步骤 1.2

从 $- y \tan (x)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = 3$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- 1 \tan (x)$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = 3$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1 \tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

解题步骤 2.2

对 $- 1 \tan (x)$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \tan (x) d x}$

解题步骤 2.2.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

解题步骤 2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (\sec (x))}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$\sec^{- 1} (x)$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{\sec (x)}$

解题步骤 2.7

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

解题步骤 2.8

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$1 \cos (x)$

解题步骤 2.9

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 3.2.1.1

移动括号。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.2.1.2

将 $\cos (x)$ 和 $- 1 \tan (x)$ 重新排序。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.2.1.3

添加圆括号。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.2.1.4

将 $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.2.1.5

约去公因数。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) \cdot 3$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = 3 \cdot \cos (x)$

解题步骤 3.4

将 $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = 3 \cos (x)$ 中的因式重新排序。

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = 3 \cos (x)$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = 3 \cos (x)$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int 3 \cos (x) d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\cos (x) y = \int 3 \cos (x) d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\cos (x) y = 3 \int \cos (x) d x$

解题步骤 7.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\cos (x) y = 3 (\sin (x) + C)$

解题步骤 7.3

化简。

$\cos (x) y = 3 \sin (x) + C$

解题步骤 8

将 $\cos (x) y = 3 \sin (x) + C$ 中的每一项除以 $\cos (x)$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $\cos (x) y = 3 \sin (x) + C$ 中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

分离分数。

$y = \frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

解题步骤 8.3.1.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$y = \frac{3}{1} \tan (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

解题步骤 8.3.1.3

用 $3$ 除以 $1$ 。

$y = 3 \tan (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

解题步骤 8.3.1.4

分离分数。

$y = 3 \tan (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$y = 3 \tan (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

解题步骤 8.3.1.6

用 $C$ 除以 $1$ 。

$y = 3 \tan (x) + C \sec (x)$

微积分学 示例

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