微积分学示例

$4 x - 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

解题步骤 1.1.2

将 $- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ 中的每一项除以 $- 2 y$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ 中的每一项都除以 $- 2 y$ 。

$\frac{- 2 y \frac{d y}{d x}}{- 2 y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 y \frac{d y}{d x}}{- 2 y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

约去 $- 4$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.3.1.2.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 (y)}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 y}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$y d y = 2 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int 2 x d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

解题步骤 3.4

从 $2 x^{2} + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

从 $2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

从 $2 (x^{2}) + 2 K$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

微积分学 示例

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