微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$ , $y (0) = 3$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 2.3

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \tan (x) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = \tan (x) + K$ 中求 $K$ 的值。

$3 = \tan (0) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\tan (0) + K = 3$ 。

$\tan (0) + K = 3$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $\tan (0) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + K = 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $K$ 相加。

$K = 3$

解题步骤 5

代入 $3$ 替换 $y = \tan (x) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $3$ 替换 $K$ 。

$y = \tan (x) + 3$

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