微积分学示例

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

因数。

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解题步骤 1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

解题步骤 1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $y + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

解题步骤 1.3

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 1$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ 。

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

解题步骤 3.3.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ 重写为 $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $1$ 代入 $y$ ，在 $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ 中求 $C$ 的值。

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ 。

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

解题步骤 6.2.1.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$C e^{0} - 1 = 1$

解题步骤 6.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$C \cdot 1 - 1 = 1$

解题步骤 6.2.4

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$C - 1 = 1$

解题步骤 6.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$C = 1 + 1$

解题步骤 6.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$C = 2$

解题步骤 7

代入 $2$ 替换 $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $2$ 替换 $C$ 。

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

微积分学 示例

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